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麻将机20191104:高峻上!從空氣阻力墻理論 剖析C羅鬼魅電梯球

來源: 未知 作者: admin

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  球場上的電梯任意球,以其難以預判的急速下墜而著名,尤其是C羅等足壇巨星的電梯球,更是讓許多門將頭疼不已??巳?,在中國物理學會期刊網發表的一篇文章中,用詳細的物理學公式和函數圖像,為各人展現了任意球的行進原理。

  現代足球不光在規則和角逐陣型等技戰術層面有了長足的發展,而且在技術上也有許多革新和創新?!跋憬肚頡焙汀暗縑萸頡本褪橇礁黽喵攘兔欄械奶咔蚍絞?,并經常在足球競賽的實戰中施展威力?!跋憬肚頡筆侵缸闈蠔叫兄性謨氳孛嫫叫械鈉蚍⑸?,偏轉運行的軌跡呈弧線形,可以繞進球門。其物理緣故原由在于球的側向旋轉,從而泛起馬格努斯效應,發生對足球的側向推力,其運行軌跡類似香蕉形。在2008 年第7 期《物理》揭曉的閻守勝論文《趣談球類運動的物理》[1]中已經做過討論,孫葆潔和葛惟昆在清華大學開設的慕課(MOOC)《足球運動與科學》中也有過詳述。這里我們專門從物理原理上先容在2008 年以后生長的一種新的足球恣意球手藝,即所謂的“電梯球”,即指鼎力大舉踢出的足球,下落很快,像是從電梯上下墜。它現實上是高速飛行的足球受到重力和大雷諾數阻力下的運動軌跡。2012 年,意大利人首次把它稱為“電梯球”,用來形容他們的中場焦點皮爾洛在波蘭踢出的一個隨便球(圖1 中足球正在從最高點急速著落)。

圖1 皮爾洛的“電梯球”
圖1 皮爾洛的“電梯球”[2]

  對拋射物的研究解釋,可以視察到兩種類型的運動軌跡:如果初速度小于自由落體的末速度,將看到伽利略拋物線軌跡, 即上升階段和下落階段的軌跡是對稱的;如果初速度大于末速度,那么該拋射物將沿著一條差錯稱的軌跡減速,即上升階段斜率較小,而在軌跡末了靠近成為一個垂直的落體??掌枇τ倘繅桓鑾獎?以下稱為空氣阻力壁)阻礙了拋射物向前的運動,這種軌跡經常出現在體育運動、煙花、澆灌等運動中(見圖2),下面我們從物理上分析其主要特征。

圖2 不對稱顆粒軌跡的例子(a)磨削;(b)煙花;(c)水的噴射[2]
圖2 差池稱顆粒軌跡的例子(a)磨削;(b)煙花;(c)水的噴射[2]

  對于一個發射體而言, 這實際上就是一個彈道問題, 其主要課題是確定拋射物在空氣中運動時的軌跡。為了表達質量為M和速度為U的粒子拋射物在空氣中運動時的軌跡,需要解下面的運動方程:

(1)
(1)

  式中FG是重力,FA是空氣作用力,初始條件為U(t = 0) =U0 。在(U0,g)平面,其軌跡示于圖3。除了實際的軌跡形狀y(x)之外,在應用中感興趣的另有射程x0、高度h,以及能使射程達到最大的最佳發射角度θ0。本文僅限于討論軌跡形狀。

圖3 軌跡圖示[2]
圖3 軌跡圖示[2]

  為詮釋這一彈道問題的多樣性,我們簡樸地討論在拋射物為球時的空氣作用力FA(U) 。首先做一個經典的剖析:FA = FD + FL ,其中FD為阻力,該力是空氣作用力平行于速度方向的部分,而浮力FL則是垂直于速度方向的部門。

  對于不行壓縮的牛頓流體(密度ρ,粘度η),不旋轉球體(半徑R,速度U)在無限區域內的運動是一個早已解決的經典課題。流體運動的狀態,取決于雷諾數,即流體流動時的慣性力和粘性力( 內摩擦力) 之比,用符號Re 表現。Re 是一個無量綱的參量。在低雷諾數極限下(Re = ρU2R/η ≪ 1,U= |U|) , 斯托克斯[3]從理論上確定了球在運動中所受到的阻力為FD= -6πηUR 。這個結論在Re≤1的規模內已被一些學者在實驗上驗證。在高雷諾數情形下,牛頓第一個提出了阻力探索性的表達式: FD= -1/2ρCDπR2UU 。憑據埃菲耳的早期實驗, CD ≈0.4―0.5 。這個值也被一些學者在103 < Re < 2 × 105 的局限內驗證。

  對于旋轉球體的研究表明, 球受到的升力FL= 1/2ρCRπR3ω0∧U ,其中ω0 是旋轉矢量, CR是依賴于雷諾數、旋轉數(Sp=Rω0 /U) 和外貌粗拙度的系數。對于運動用球,CR 與Re,Sp 的依賴關系較弱。

  從上述討論中可知,空氣作用力FA(U) 依賴于雷諾數和旋轉。現在首先思量大雷諾數純阻力極限,球體的運動方程為

(2)
(2)

  一個很主要的參數為末速度U∞,即穩態(dU/dt = 0) 下的速度。它的矢量形式為U=-U∞ey ,很容易求出

 

,ey 為縱向單位矢量。

  下面我們對軌跡做進一步的剖析:

  (1)空氣阻力壁的起源

  我們通過討論空氣阻力壁來對一樣平常情況下(U0⋀g ≠0) 的(2)式舉行分析:沒有阻力(CD=0) 時,(2)式表明球體永遠不會達到穩態而是在重力作用下一直加速。存在阻力時(CD ≠ 0) ,穩態(dU/dt = 0)出現,(2)式中球體末速度為

 (3)
(3)

  式中ℒ =U∞2 /g 為特征長度。當球體運行達到穩態,此時的速度界說為末速度,它知足(3)式,該式表明,矢量形式的末速度U∞ 平行于重力加速度g,意味著軌跡是豎直向下的。即是說,一旦阻力出現,軌?;岢魷質鋇慕ソ?。這個豎直的漸近線在特征長度ℒ 范圍內達到。這一點可以通過將運動方程寫為如下形式更明確地體現出來:

(4)
(4)

  式中s 是沿軌跡的弧長。(4)式沿x方向的投影為dUx /ds = -Uxℒ , Ux 為速度的水平分量。在初始條件Ux0 =Ux (s = 0) = U0 cos θ0 下, 對這個方程積分,可以得到

 (5)
(5)

  若是Ux0 ≠ 0 ,這個方程講明速度的水中分量在距離ℒ 內呈指數下降。在到達這個距離之后,U和U∞ 是平行的。因此特征長度ℒ 表征了空氣阻力壁的位置。這一點在下面會有進一步討論。

  (2)兩個不同的區間

  為確定主導整個軌跡的參數,我們引入兩個約化的變量

 

 

  。上述運動方程(4)式變為

(6)
(6)

  (6)式可以在初始條件

 

下求解,其中t0是在起點處正切于軌跡的單元矢量。整個系統因此僅由兩個參數主導,劃分是初始傾角θ0和初速率與末速度的比值U∞ /U0 。在(6)式中,后一項的初始值為1。由此我們可以區分以下兩個差別的區間:

  (i)拋物線區間

  在低速發射條件下(U0 ≪U∞) ,(6)式中的第二項在初始時遠大于第三項,運動方程簡化為經典的拋物線方程:

(7)
(7)

  在這個拋物線區間內,速度從初始值U0 增添至末態值U∞ 。

  (ii)塔爾塔利亞(Tartaglia) 曲線區間

  在高速發射條件下(U0 ≫U∞) ,(6)式中的第二項在初始時遠小于第三項,運動方程可簡化為

(8)
(8)

  積分后可得

 

。因此軌跡的初始部分是一直線,沿著該直線球體在特征長度ℒ 內減速。最后的狀態也是一條直線,(6)式中的第二項和最后一項抵消: U=U∞ 。在這兩個區間之間,(6)式中的三項都必須考慮,以毗連這兩條直線。軌跡的這些特征與塔爾塔利亞形貌的以及圖4(b)展示的很是接近。因此我們稱在高速度情況下獲得的軌跡為塔爾塔利亞曲線。值得強調的是,在這種特殊情況下,運動方程決不可能約化為拋物線,也就是說,(6)式中的前兩項不會抵消。圖4 描繪了以下兩種情況:(a)為低速條件(U0 /U∞ = 0.31) ; (b) 為高速條件(U0 /U∞ = 100) 。

圖4 在相同初始角度θ0 = 45° 時兩種不同軌跡的圖示(a) U0 /U∞ = 0.31 ; (b)U0 /U∞ = 100 (圖中縱坐標和橫坐標分別表示以特征長度ℒ 度量的球體運行高度和距離)[2]
圖4 在相同初始角度θ0 = 45° 時兩種不同軌跡的圖示(a) U0 /U∞ = 0.31 ; (b)U0 /U∞ = 100 (圖中縱坐標和橫坐標分別示意以特征長度ℒ 懷抱的球體運行高度和距離)[2]

  綜上所述可知,簡單的物理研究可以很準確地分析受到重力影響和大雷諾數阻力下球體的運動軌跡。不同球體在阻力與重力平衡時的末速度不同。對于不同的發射速度,可以考察到兩種不同的軌跡:當初速度小于末速度時,球體軌跡為經典的伽利略拋物線;當發射速度凌駕末速度時,軌跡不再是拋物線,而是稱為塔爾塔利亞的非對稱曲線。在兩種極限下,軌跡展現出豎直的漸近軌跡(空氣阻力壁),可以有剖析表達式,給出空氣阻力壁的位置和射程。這兩個量在高速度情況下都體現出對數飽和。這種飽和在一些領域內有意義,例如旋轉怎樣改變球的飛行。這些分析提供了對電梯球這樣饒有興味的足球征象的深入明白。

  球的運動有物理紀律可循,物理學家可以從這個角度對體育運動提供科學的資助。對于足球運動員來說,固然不需要去探討電梯球的物理細節,只要知道,它需要極高的初速度,不用旋轉,就能踢出像葡萄牙運動員C羅那樣漂亮的任意球,急落于對方球門之內!速度是要害。現在所知球速最快的任意球是德國運動員馬特烏斯踢出的,時速約莫為210 公里/小時;C 羅踢出的球速可達100 公里/小時以上, 這就是致力于踢好任意球的運發動起勁的目的?!暗縑萸頡幣部梢約有?,例如最近廣州恒大足球隊巴西球員保利尼奧(昵稱暴力鳥)一記用外腳背踢出,直接旋進網窩的“電梯球”。

  最后要指出,阻力壁這種空氣動力學效應與球體自己的形貌有很大關系。就足球而言,從中國古代的蹴鞠到現代足球,形貌發生了重大轉變。現代足球最初由32 塊皮子組成,12 塊正五邊形,20 塊正六邊形,與著名的碳60 分子概況一樣,是一種極度結實的結構。厥后履歷歷屆世界杯的沿革, 足球由32 塊皮子發展為14 塊、8 塊,直到2014年巴西世界杯接納的由6 塊皮子組成的所謂“桑巴榮耀”足球。這種球不僅削減了皮子之間的漏洞數目,輪廓還充滿小突起,因此對空氣阻力壁的形成有削弱的作用。有物理學家專門研究了這個現象[4]。事實也證實,在巴西天下杯和今后的國際比賽中,“ 電梯球”大大淘汰。C 羅本人現在的任意球樂成率大大降低,應該也與此有關。

  致謝 謝謝法國國家科學院(CNRS)C. Clanet教授的支持。

  參考文獻

  [1] 閻守勝. 物理,2008,37(7):482

  [2] Cohen C,Darbois-Texier,Dupeux G et al. Proc. R. Soc. A,2013,470:0497

  [3] Stokes G G. Trans. Camb. Philos. Soc.,1851,9:8

  [4] Hong Sung-chan,Asai Take-shi. Scientific Report,2014,4:2154

  泉源:中國物理學會期刊網

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